Potęgi to jedno z podstawowych działań matematycznych – choć nadal budzą one strach wielu uczniów w szkołach podstawowych oraz średnich. Warto wiedzieć, że przy odrobinie chęci ich opanowanie nie zajmie wiele czasu – różnic między potęgowaniem, a mnożeniem jest naprawdę niewiele. Jeśli zmagasz się aktualnie z potęgami, musisz również wiedzieć, że ich opanowanie jest niezbędne, byś bez problemu radził sobie z dalszymi, bardziej zaawansowanymi działami matematyki, jak logarytmy, czy niektóre rodzaje funkcji.
Potęgowanie można, rzecz jasna, wykonywać w głowie, niemniej w przypadku dużych liczb i potęg zdecydowanie zalecane jest wykorzystanie kalkulatora. Najczęściej bowiem w przypadku takich liczb tylko to niewielkie urządzenie da bowiem gwarancję, że wynik działania typu “32 do potęgi 7” będzie poprawny.
Potęgowanie rządzi się pewnymi prawami, o których absolutnie nie powinieneś zapominać. W dzisiejszym artykule zapoznasz się z najważniejszymi informacjami na temat potęg – poznasz ich podstawowe wzory, a także przykładowe zadania. Zachęcamy do zapoznania się z przedstawionymi informacjami.
Czym są potęgi?
Zanim przejdziemy do omawiania konkretnych wzorów, najpierw musimy zrozumieć, czym tak naprawdę potęgi w ogóle są. Najprościej rzecz ujmując, potęgi to po prostu alternatywny zapis mnożenia, który przydaje się, gdy dużo razy musimy wymnożyć przez siebie określoną liczbę. Pozwalają na uproszczenie zapisu takiego działania, nie zmieniając przy tym jego sensu. Zapis 210 jest bowiem równie prawidłowy i oznacza dokładnie to samo, co zapis 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2. Potęga jest zatem niczym innym, jak zapisanym w inny sposób mnożeniem, przy czym dotyczy ono tylko wymnażania przez siebie konkretnej liczby. Działania typu 2*3*4 już bowiem w postaci potęgi nie zapiszemy.
Potęga składa się z dwóch części: podstawy oraz wykładnika. Najprościej rzecz ujmując, ten pierwszy informuje, jaką liczbę będziemy przez siebie mnożyć, a ta druga – ile razy należy tego dokonać. Dla przykładu:
- w przypadku potęgi 35 liczbę 3 należy wymnożyć przez siebie 5 razy
- w przypadku potęgi 1010 liczbę 10 należy wymnożyć przez siebie 10 razy.
- w przypadku liczby -32 liczbę -3 należy wymnożyć przez siebie 2 razy.
W porównaniu z klasycznym mnożeniem, zachodzi tu jednak drobna różnica, jeśli chodzi o wykorzystanie w wykładniku liczby 0, którą koniecznie trzeba odnotować. O ile bowiem przyzwyczailiśmy się, że dowolna liczba a pomnożona przez 0 daje w wyniku 0, o tyle wynikiem potęgowania przez 0 jest zawsze liczba 1.
Dla przykładu:
- 10 = 1
- 110 = 1
- 3310 = 1
Pewną ciekawostką jest fakt, że wynik działania 00 po dziś dzień nie jest jednoznaczny. O ile bowiem niektórzy matematycy (i całe działy matematyki) przyjmują, że wynikiem takiego działania także będzie liczba 1, o tyle inni uważają, że prawidłowym wynikiem jest 0.
Ponadto pamiętać musimy, że jeśli wykładnikiem potęgi jest liczba 1, to wynikiem takiego działania jest zawsze liczba podlegająca potęgowaniu. Dla przykładu:
- 31 = 3
- 51 = 5
- 101 = 10
Podstawowe założenia dotyczące potęg są zatem naprawdę bardzo proste. Wiele osób zaczyna jednak popełniać błędy w przypadku, gdy do gry wchodzą bardziej zaawansowane działania na potęgach. Należy bowiem wiedzieć, że wszelkie możliwe do przeprowadzenia na iloczynach operacje można przeprowadzić również na potęgach. Służą ku temu specjalne wzory, które omówimy w dalszej częsci naszego dzisiejszego wpisu..
Czym są potęgi kwadratowa i sześcienna?
Są to po prostu obiegowe nazwy drugiej i trzeciej potęgi danej liczby. Podnosząc konkretną liczbę do drugiej potęgi możemy też mówić o potędze kwadratowej. Natomiast w przypadku, gdy dana liczba podnoszona jest przez nas do trzeciej potęgi, możemy też powiedzieć o potędze sześciennej.
Potęgowanie liczb ujemnych
Potęgować możemy nie tylko liczby dodatnie. Również bowiem liczby ujemne podlegają potęgowaniu, niemniej jednak należy tu pamiętać o dwóch bardzo ważnych zasadach.
- po pierwsze – każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystym jest liczbą ujemną
- po drugie – każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią.
Jest to jedna z najważniejszych zasad potęgowania – niestety, bardzo często okazuje się prawdziwą pułapką, zwłaszcza dla osób nieco słabszych z matematyki. Aby zwizualizować tę zasadę, poniżej przedstawiamy kilka prostych przykładów związanych z potęgowaniem liczb ujemnych.
- (-1)2 = 1
- (-1/2)3 =(-1/8)
Potęgowanie liczb ujemnych nie jest niczym trudnym – może wymagać jednak nieco wprawy, dlatego zwłaszcza młodszym uczniom zdecydowanie zalecamy starannie przećwiczenie tej umiejętności.
Najważniejsze wzory na potęgi
Omówiliśmy już podstawowe informacje dotyczące potęg – nadszedł więc czas, aby poznać konkretne, najważniejsze wzory dotyczące działań na nich.Potęgi usprawniają nie tylko łatwiej zapisywać skomplikowane iloczyny, ale także między innymi dodawać je ze sobą, mnożyć i dzielić. Do tego konieczna jest jednak znajomość podstawowych wzorów.
Przypomnieć wypada, że potęgowane mogą być zarówno liczby wymierne i niewymierne, dodatnie oraz ujemne. Świadomość tego faktu pozwoli lepiej zrozumieć wzory na potęgowanie, które za chwilę omówimy.
Dodawanie oraz odejmowanie potęg o tych samych podstawach
Czy istnieje jakikolwiek wzór na dodawanie potęg o tych samych podstawach? Otóż odpowiedź na to pytanie brzmi – nie. Na szczęście jednak nie jest to proces skomplikowany. Opiera się on na zasadniczo tych samych czynnościach, co w przypadku standardowego dodawania typu x+x = 2x. Nie oznacza to, że możliwe jest tylko i wyłącznie dodawanie identycznych potęg. Niemniej jednak, w przypadku bardziej skomplikowanych zagadnień często konieczne będzie uproszczenie wyrażenia, lub wyciągnięcie jakiejś jego części przed nawias
Nie inaczej sprawa ma się także, jeśli chodzi o odejmowanie potęg. Również i w tym przypadku nie ma konkretnego, ściśle zdefiniowanego wzoru na takie działanie matematyczne. Ponownie więc należy skorzystać z tych samych zasad, które rządzą “standardowym” odejmowaniem.
Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie
O ile w przypadku dodawania, czy też odejmowania potęg nie ma ściśle określonego wzoru, o tyle w przypadku mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie – jak najbardziej tak. Są to jednakże wzory naprawdę bardzo łatwy do zrozumienia, co sprawia, że wiedzę tę najczęściej wprowadza się jeszcze na etapie nauki w szkole podstawowej. Sprawdźmy więc, jak prezentują się wzory na dzielenie i mnożenie potęg o tych samych podstawach:
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
W sytuacji, gdy chcemy wymnożyć dwie potęgi, a ich podstawa jest taka sama, wystarczy jedynie skorzystać ze wzoruaᵇ x aᵗ = aᵇ+ᵗ.
Przykład:
53 * 52 = 53-2 = 55 =3125
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
Czasem zdarzyć się, rzecz jasna, może, że potęgi chcemy nie mnożyć, lecz przez siebie podzielić. W takiej sytuacji wystarczy jedynie skorzystać z następującego wzoru:aᵇ : aᵗ = aᵇˉᵗ
Przykłady:
- 46 – 43 = 46-3 = 43 = 64
- 126 -124 = 126-4 = 122 = 144
Mnożenie i dzielenie potęg o tym samym wykładniku
Powyżej opisaliśmy, w jaki sposób należy prawidłowo wykonać mnożenie i dzielenie potęg cechujących się tą samą podstawą. Warto jednak podkreślić, że nie tylko wtedy wykonanie mnożenia, lub dzielenia będzie dozwolone. Mnożyć i dzielić można bowiem również potęgi o różnych podstawach, lecz tych samych wykładnikach.
Mnożenie potęg o tym samym wykładniku
Co należy zrobić, kiedy okaże się, że potęgi, które będziemy chcieli wymnożyć cechować się będą różnymi podstawami, lecz będą jednocześnie posiadały identyczny wykładnik. W takim przypadku wystarczy zastosować wzór an*bn = a*bn
Przykłady
- 33*43= (3*4)3=123=1728
- 7*27 = (*2)7 =27
Dzielenie potęg o tym samym wykładniku
Oczywiście, podobnie jak wymnożyć potęgi o tym samym wykładniku możemy je także podzielić. W tym przypadku z pomocą przyjdzie nam wzór an : bn = (a : b)n
Przykłady:
- 103 : 53 = (10 : 5)3 = 23 = 8
- 214 : 34 = (21 : 3)4 = 74 = 2401
Podnoszenie potęgi do potęgi
Mnożenie i dzielenie potęg nie jest jednak jedynym działaniem jasno zdefiniowanym przez konkretny wzór. Warto bowiem także wiedzieć, że każdą potęgę możemy podnieść do kolejnej potęgi. W tym celu wystarczy zastosować wzór (am)n = am*n
Przykłady:
- (22)3 = 22*3 = 26 = 64
- (31/2)4 = 31/2*4 = 32 = 9
Potęgowanie a pierwiastkowanie
Wspominając o potęgach, nie sposób wspomnieć krótko o pierwiastkowaniu. Potęgowanie i pierwiastkowanie są poniekąd działaniami odwrotnymi – dokładnie tak, jak choćby mnożenie i dzielenie. Dla przykładu, pierwiastek kwadratowy to to samo, co potęgowanie do ½, natomiast pierwiastek sześcienny jest tym samym, co potęgowanie do ⅓. Podajmy jeszcze kilka przykładów
- √4 = 2, ponieważ 22 = 4
- √49 = 7, ponieważ 72 = 49
- 3√327 = 3, ponieważ 33 = 27
Gdzie zastosowanie mają potęgi?
Potęgowanie to jedno z najbardziej podstawowych działań matematycznych. Swoje zastosowanie znajduje zresztą nie tylko w przypadku matematyki, lecz także na przykład fizyki oraz informatyki. Jeśli jednak o matematykę chodzi – opanowanie potęgowania jest absolutnie kluczowe do tego, by z sukcesami poznawać zasady rządzące dalszymi działami. Od chwili ich wprowadzenia potęgi stosowane są bowiem wszędzie – począwszy od geometrii (np. w celu obliczenia pola, lub też obwodu konkretnej figury geometrycznej), przez logarytmowanie, czy też równania, aż po funkcje oraz ciągi liczbowe. Opanowanie zadań związanych z zagadnieniem potęgowania będzie zatem konieczne do skutecznej nauki matematyki w przyszłości.
Podsumowanie
Aby dobrze opanować działania na potęgach, należy zapoznać się z kilkoma podstawowymi wzorami, które wcześniej podaliśmy w treści naszego. Oczywiście, niezbędna jest także wiedza z zakresu wcześniej omawianych działów matematyki, na przykład ułamkowania. Potęgowanie jako działanie matematyczne ma naprawdę bardzo wiele zalet – pozwala przede wszystkim skrócić długość zapisu w przypadku wymnażania danej liczby przez samą siebie. Zdecydowanie warto opanować je na jak najwcześniejszym etapie – tutaj pomóc może regularny trening umiejętności z zakresu potęgowania.