Jedną z figur geometrycznych, które sprawiają uczniom największe trudności w opanowaniu jest prostopadłościan. Niektórym mogłoby się wydawać, że poznawanie wiedzy dotyczącej tej i innych figur geometrycznych jest mało praktyczne. Nic bardziej mylnego. Prostopadłościany występują wszędzie, niemal dosłownie nas otaczając – nawet, jeśli czasem wpisane są w inne figury geometryczne, przez co na pierwszy rzut oka trudno je dostrzec.
Pamiętać należy, że opanowanie geometrii jest niezbędne zwłaszcza w przypadku osób, które starać się będą o przyjęcie na takie kierunki studiów, jak np. architektura. Prostopadłościan to zaś figura, które skomplikowana wydaje się być tylko na pierwszy rzut oka. Gdy przyjrzymy się bliżej dotyczącym jej wzorom, odkryjemy, że są naprawdę proste i intuicyjne.
Definicja prostopadłościanu
Aby zrozumieć naturę prostopadłościanu, najpierw należy uzmysłowić sobie, czym konkretnie jest. Poniżej przedstawiamy najbardziej podstawowe informacje ich dotyczące.
Okazuje się zaś, że prostopadłościan jest to po prostu graniastosłup cechujący się tym, że każda z jego ścian jest prostokątem. Pamiętać należy także o tym, że w prostopadłościanie dwie dowolne ściany muszą być w stosunku do siebie prostopadłe, albo równoległe. Nie wolno ponadto zapominać o tym, że również podstawy prostopadłościanu są prostokątami. W sumie prostopadłościan posiada sześć ścian, lub też cztery ściany i dwie podstawy. Boki prostokątów, które tworzą prostopadłościan nazywa się krawędziami. Wyróżnić można krawędzie podstawy, oraz krawędzie boczne – wszystkich razem jest ich łącznie dwanaście.
Podstawowa definicja prostopadłościanu jest naprawdę prosta i klarowna. Czytając między jej wierszami domyślić się można jednak, że istnieje kilka rodzajów prostopadłościanów.
Jest to zresztą spostrzeżenie jak najbardziej słuszne.
Rodzaje prostopadłościanów
Prostopadłościanami w istocie może być kilka figur geometrycznych. Musimy jednak w tym miejscu wyraźnie podkreślić, że wszystkie z nich muszą jednak spełniać podstawowy wymóg opisany powyżej. Oznacza to, że wszystkie z nich muszą posiadać sześć ścian, z których każda jest prostokątem, a dwie dowolne z nich są w stosunku do siebie prostopadłe, lub równoległe. Na wczesnych etapach edukacji uczniowie zapoznają się przede wszystkim z dwoma takimi figurami: sześcianem, oraz graniastosłupem prawidłowym.
- graniastosłup prawidłowy to figura geometryczna, w której zachodzą następujące zależności:
1) posiada on podstawy w formie kwadratu
2) jego ściany boczne stanowią przystające prostokąty - sześcian to figura geometryczna, która cechuje się tym, że wszystkie jej krawędzie są równe. Ponadto w przypadku rozwiązywania wielu typu zadań pomocna okazuje się informacja, że każda ściana sześcianu jest kwadratem.
Kluczem do prawidłowego rozwiązania wszystkich zadań z prostopadłościanów jest opanowanie podstawowych wzorów.
Najważniejsze wzory dotyczące prostopadłościanu
Po opanowaniu podstawowych definicji prostopadłościanu można przejść do nauki konkretnych wzorów. Tak, jak wcześniej wspominaliśmy – większość z nich jest naprawdę intuicyjna i aby je opanować, wystarczy odrobina samozaparcia. Wkrótce okaże się bowiem, że kluczem do zdecydowanej większości zadań z prostopadłościanów jest tak naprawdę umiejętne podstawienie danych do odpowiedniego wzoru.
Poniżej przedstawiamy najważniejsze wzory dotyczące prostopadłościanu – w dalszej części naszego artykułu zaprezentujemy natomiast przykłady ich zastosowania.
Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu
Pierwszym wzorem, jaki dziś przedstawimy, jest wzór na pole powierzchni prostopadłościanu. Zadania na obliczenie pola powierzchni, wykonywane na mniejszych liczbach z łatwością wykonać można samodzielnie, bez konieczności korzystania z kalkulatora. Wzór ten ma bowiem postać
Pc=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
W dalszej części artykułu przedstawimy z kolei przykładowe zadanie wymagające obliczenia pola powierzchni prostopadłościanu.
Wzór na objętość prostopadłościanu
Jeszcze prostszym wzorem okazuje się być wzór na objętość prostopadłościanu. Aby ją obliczyć, wystarczy bowiem wymnożyć przez siebie jego trzy wymiary: długość, szerokość, oraz wysokość. Wzór na objętość prostopadłościanu ma następującą postać:
V=abc
Oczywiście jak zawsze w matematyce, tak i tym razem brak symbolu między poszczególnymi elementami wzoru równoznaczny jest ze znakiem mnożenia.
Kilka przykładowych zadań wykorzystujących wzór na objętość prostopadłościanu przedstawimy w dalszej części niniejszego wpisu.
Wzór na przekątną prostopadłościanu
Nieco trudniejszym wzorem, na którego opanowanie warto poświęcić nieco więcej czasu, jest z kolei wzór na długość przekątnej prostopadłościanu. Niemniej jednak, nie jest on przesadnie skomplikowany i po odpowiednio intensywnej nauce powinien poradzić sobie z nim każdy uczeń. Ma on bowiem postać
d=√a2+b2+c2
Jak więc widać, aby poprawnie rozwiązać zadania wykorzystujące ten wzór, należy wcześniej opanować umiejętność podstawowego pierwiastkowania oraz potęgowania.
Prostopadłościany – przykładowe zadania
Poznaliśmy wszelkie najważniejsze wzory dotyczące prostopadłościanu. Pora więc sprawdzić, jak wygląda ich praktyczne zastosowanie. Istnieje wiele różnego rodzaju zadań wykorzystujących wzory dotyczące prostopadłościanów. Poniżej prezentujemy zaledwie kilka podstawowych zadań dotyczących przedstawionych przez nas wcześniej wzorów, wraz z rozwiązaniami.
Przykład 1: Wyznacz pole powierzchni prostopadłościanu o następujących założeniach:
- dwie ściany mają wymiary 20×10 cm
- dwie ściany mają wymiary 20×15 cm
- dwie ściany mają wymiary 15×10 cm
Rozwiązanie:
Pc=2·a·b+2·a·c+2·b·c
Pc=2·20cm·10cm+2·20cm·15cm+2·15cm·10cm
Pc=2·200cm2+2·300cm2+2·150cm2
Pc=400cm2+600cm2+300cm2
Pc=1300cm2
Przykład 2. Złota rybka mieszka w akwarium o wymiarach 20·40·50 centymetrów. Ile litrów wody zmieści się w zamieszkiwanym przez nią akwarium? Wynik wyraź w decymetrach.
Rozwiązanie:
V=abc=a·b·c
a=20cm=2dm
b=40cm=4dm
c=50cm=5dm.
V=a*b*c
V=20cm·40cm·50cm
V=2dm*4dm*5dm
V=40dm3.
Przykład 3. Na podstawie podanych proporcji oblicz objętość prostopadłościanu: a=4 cm, b=6 cm, c=9 cm.
Rozwiązanie
V=abc
V=a·b·c
V=4cm·6cm·9cm
V=216cm3
Przykład 4. Dany jest prostopadłościan, w którym krawędzie podstawy wynoszą odpowiednio a=5cm, oraz b =10 cm, natomiast jego wysokość c jest równa 10 cm. Jakie jest pole powierzchni takiego prostopadłościanu?
Rozwiązanie
Pc=2·a·b+2·a·c+2·b·c
Pc=2·5cm·10cm+2·5cm·10cm+2·10cm·10cm
Pc=2·50cm+2·50cm+2·100cm
Pc=100cm2+100cm2+200cm2
Pc=400cm2
Przykład 5 (trudniejszy) Pewien prostopadłościan ma objętość wynoszącą 648, a stosunek długości jego boków równy jest 2 : 3 :4. Jakie jest pole powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu?
Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności należy rozwiązać równanie Jeśli bowiem stosunek długości boków prostopadłościanu równy jest 2 : 3 : 4, długość ta może zostać zapisana za pomocą liczb 2x, 3x, 4x
2x·3x·4x=648
24x3=648
x3= 27
x=3
Z tego wynika, że długości krawędzi prostopadłościanu wynoszą odpowiednio 6cm, 6cm i 12 cm.
Podstawiamy do wzoru.
Pc=2·a·b+2·a·c+2·b·c
Pc=2·6cm·9cm+2·6cm·12cm+2·9cm·12cm
Pc=2·54cm+2·72cm+2·108cm
Pc=108cm2+144cm2+216cm2
Pc=468cm2
Podsumowanie
Prostopadłościany to figury geometryczne, które po bliższym poznaniu okazują się znacznie mniej skomplikowane, niż mogłoby się to wydawać. Warto poświęcić czas na naukę rządzących nimi wzorów – zwłaszcza, że zadania z prostopadłościanów będą towarzyszyć nam podczas zajęć z geometrii na praktycznie każdym etapie nauki. Co więcej, zadania takie “lubią” pojawić się także na egzaminie maturalnym, o czym warto pamiętać, szczególnie wtedy, gdy planujemy na poważnie podejść do egzaminu z matematyki, w związku np. z wybranym przez nas kierunkiem studiów. Pamiętać też należy o tym, że nauka zasad rządzących prostopadłościanami może okazać się przydatna także w przypadku zupełnie innych dziedzin geometrii, a nawet innych działów matematyki.
W niniejszym wpisie zaprezentowane zostały najważniejsze zasady dotyczące prostopadłościanów. Mamy nadzieję, że pomógł on nieco rozjaśnić ten temat i sprawił, że nauka stanie się nieco łatwiejsza.